Uncategorized

Tutorial Teknik Komputasi dengan Scilab : Fungsi-Fungsi Kompleks

Untuk melakukan perhitungan-perhitungan yang melibatkan bilangan kompleks, terdapat beberapa fungsi yang disediakan Scilab antara lain sebagai berikut:

a. Menghitung modulus serta pemisahan bagian nyata dan khayal pada skalar, dilakukan secara langsung

-->abs(3 + %i*4)
ans  =
5.
-->abs(0.234 - %i*1.535)
ans  =
1.5527334

Fungsi abs untuk operasi pada bilangan kompleks di atas digunakan untuk mencari nilai modulus suatu bilangan kompleks. Misalkan terdapat sebuah bilangan kompleks x (x = a + b*%i), maka untuk mencari nilai modulus x digunakan fungsi abs (x) yaitu |x| = [latex]\sqrt{x+y}[/latex]  . Hasil perhitungan pada contoh aplikasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

  • Nilai modulus untuk bilangan kompleks  3 + %i*4 adalah 5, ditulis dengan fungsi abs (3 + %i*4).
  • Nilai modulus untuk bilangan kompleks  0.234 – %i*1.535 adalah1,5527334 , ditulis dengan fungsi abs (0.234 – %i*1.535).

Kebenaran fungsi tersebut juga dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus asal bilangan kompleks :

-->sqrt(3^2+4^2)
ans  =
5.
-->sqrt(0.234^2 + 1.535^2)
ans  =
1.5527334

Hasil perhitungan di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

  • Nilai akar kuadrat dari bentuk skalar 32+42 adalah 5, ditulis dengan fungsi sqrt (3^2+4^2)
  • Nilai akar kuadrat dari bentuk skalar 0,2342+1,5352 adalah 1,5527334, ditulis dengan fungsi sqrt (0.234^2+1.535^2)

Bentuk 32+42 merupakan rumus asal dari bilangan kompleks 3 + %i*4 dan bentuk 0,2342+1,5352 merupakan rumus asal dari bilangan kompleks 0.234 – %i*1.535.

Dari hasil perhitungan di atas, nilai yang dihasilkan ternyata sama dengan nilai yang dihasilkan pada operasi fungsi sebelumnya yaitu fungsi abs. Fungsi sqrt di atas digunakan untuk menentukan akar kuadrat suatu bilangan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk mencari nilai modulus suatu bilangan kompleks dapat dilakukan secara langsung dengan fungsi abs atau dapat juga dilakukan dengan mengubah bilangan kompleks tersebut ke bentuk rumus asalnya terlebih dahulu baru kemudian dihitung dengan fungsi sqrt.

Suatu bilangan kompleks terdiri atas bilangan real (nyata) dan bilangan imajiner (tak nyata/khayal). Untuk memisahkan kedua bagian tersebut, dalam Scilab disediakan fungsi real (x) dan imag (x). Aplikasi untuk kedua fungsi tersebut dapat dilihat sebagai berikut :

-->real(3^2 + %i*4)
ans  =
9.
-->imag(3^2 + %i*4)
ans  =
4.
-->real(0.234- %i*1.535)
ans  =
0.234
-->imag(0.234 - %i*1.535)
ans  =
- 1.535

Fungsi real di atas digunakan untuk menentukan bagian bilangan real (nyata) dari suatu bilangan kompleks, sedangkan fungsi imag digunakan untuk menentukan bagian bilangan imajiner (tak nyata) dari suatu bilangan kompleks. Cara penulisannya yaitu dengan menuliskan nama fungsinya terlebih dahulu kemudian diikuti dengan bilangan kompleks yang akan dicari bagian-bagiannya serta ditulis dalam tanda kurung.

Dari hasil perhitungan contoh aplikasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

  • Bagian bilangan nyata (real) dari bilangan kompleks 32 + %i*4 yaitu 9 (32), ditulis dengan fungsi real (3^2 + %i*4). Sedangkan bagian imajinernya yaitu 4, ditulis dengan fungsi imag (3^2 + %i*4).
  • Bagian bilangan nyata (real) dari bilangan kompleks 0,234 – %i*1,535 yaitu 0,234, ditulis dengan fungsi real (0.234- %i*1.535). Sedangkan bagian imajinernya yaitu -1,535, ditulis dengan fungsi imag (0.234- %i*1.535).

Jadi, berdasarkan hasil di atas suatu bilangan kompleks x = a + b*%i, mempunyai bagian nyata dan imajiner. Bagian nyata dari bilangan kompleks x tersebut adalah a, sedangkan bagian imajinernya yaitu b. Variabel %i dalam Scilab menunjukkan bahwa bilangan tersebut adalah imajiner.

b. Perhitungan matriks kompleks

 

-->P = [%i*5 7+%i*8 ; 1-%i*3 0 ; 0.78-%i*1.23 -21]
P  =
5.i             	7. + 8.i
1. - 3.i        	0
0.78 - 1.23i  	- 21.
-->abs(P)
ans  =
5.           10.630146
3.1622777    0.
1.4564683    21.
-->real(P)
ans  =
0.      7.
1.      0.
0.78  - 21.
-->imag(P)
ans  =
5.      	8.
- 3.      	0.
- 1.23    	0.

Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, untuk melakukan perhitungan dengan suatu matriks (dalam hal ini matriks kompleks) terlebih dahulu didefinisikan nama matriks tersebut untuk memudahkan dan mempercepat perhitungan matriks. Contoh aplikasi di atas merupakan contoh perhitungan nilai modulus (abs), bagian nyata/real bilangan kompleks (real), dan bagian imajiner bilangan kompleks (imag) terhadap setiap elemen dalam matriks P tersebut.

Hasil perhitungan dengan fungsi abs, real, dan imag pada matriks P di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

  • Nilai modulus setiap elemen matriks P = $latex \left(\begin{array}{cc}5i&7+8i\\ 1-3i&0\\ 0,78-1,23i&-21\end{array}\right)$ yaitu  $latex \left(\begin{array}{cc}5&10,630146\\ 3,1622777&0\\ 1,4564683&21\end{array}\right)$ ditulis dengan fungsi abs (P)
  • Bagian bilangan real/nyata dari setiap elemen matriks P =  $latex \left(\begin{array}{cc}5i&7+8i\\ 1-3i&0\\ 0,78-1,23i&-21\end{array}\right)$ yaitu $latex \left(\begin{array}{cc}0&7\\ 1&0\\ 0,78&-21\end{array}\right)$ ditulis dengan fungsi real (P), sedangkan bagian bilangan imajinernya yaitu   $latex \left(\begin{array}{cc}5&8\\ -3&0\\ -1,23&0\end{array}\right)$ ditulis dengan fungsi imag (P).

c. Menghitung konjugat bilangan kompleks

 

-->conj(3 + %i*4)
ans  =
3. - 4.i
-->conj(0.234 - %i*1.535)
ans  =
0.234 + 1.535i
-->conj(P)
ans  =
- 5.i               	7. - 8.i
1. + 3.i       		0
0.78 + 1.23i 	 	- 21.

Konjugat dari suatu bilangan kompleks didefinisikan sebagai lawan dari bilangan kompleks itu sendiri, sehingga apabila diketahui suatu bilangan kompleks X  (X=a + b*%i), maka konjugatnya adalah  (=  a –  b*%i). Cara penulisan untuk menghitung konjugat suatu matriks kompleks yaitu dengan menuliskan fungsi konjugat dalam Scilab yaitu conj diikuti dengan bilangan kompleks (jika berbentuk skalar) atau nama matriksnnya (jika berbentuk matriks terdefinisi) serta ditulis dalam tanda kurung.

Dari hasil perhitungan di atas secara berurutan dapat dijelaskan sebagai berikut :

  • Nilai konjugat dari bilangan kompleks 3 + 4i yaitu 3 – 4i, ditulis dengan fungsi conj (3 + %i*4).
  • Nilai konjugat dari bilangan kompleks 0.234 – 1.535i yaitu 0.234 + 1.535i , ditulis dengan fungsi conj (0.234 – %i*1.535).
  • Nilai konjugat dari setiap elemen matriks kompleks P = $latex \left(\begin{array}{cc}5i&7+8i\\ 1-3i&0\\ 0,78-1,23i&-21\end{array}\right)$  yaitu $latex \left(\begin{array}{cc}-5i&7-8i\\ 1+3i&0\\ 0,78+1,23i&-21\end{array}\right)$, ditulis dengan fungsi conj (P).

No Comments Found